જો $\vec p$ અને $\vec q$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$ થાય,તો $\vec p$ અને $\vec q$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

$(1, -6, 10)$,$(-1, -3, 7)$,$(5, -1, \lambda)$ અને $(7, -4, 7)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $11 \text{ cubic units}$ છે. તો $\lambda = $

જો $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ હોય,જેથી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$ થાય,તો $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ ની કિંમત ............ છે.

જો એક ચતુષ્ફલક કે જેની ધાર $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ હોય તેનું ઘનફળ $24$ ઘન એકમ હોય,તો જે સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) ની ધાર $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ હોય તેનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ઘન એકમ}$ માં)?

જો સદિશો $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ સમતલીય હોય,જ્યાં $(a, b, c \neq 1)$,તો $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}) = k[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.